１階論理では完全性とコンパクト性が成立する。ので、以下も成り立つ。 Ｔを文の集合として・Ｔが無矛盾であることと、Ｔのモデルが存在することは同値 ・Ｔ|-φならば、φはＴのある有限部分から証明可能 ・Ｔが矛盾すれば、Ｔのある有限部分で矛盾する こや…

数学的に正確な概念「φはＴから証明できる」が定義できて，それが直観的な概念「φはＴから論理法則のみによって従う」を完全に捉えることができることを示そう．（中略）必要なことのすべては「φがＴから論理法則のみによって従う」とき，少なくとも次のこと…

【コンパクト性定理】 １階論理の公理系Ｔの任意有限部分がモデルを持つならば、Ｔはモデルを持つ。 ここで出てくる「コンパクト性」は、位相空間での「コンパクト性」と何か関係があるのかなーと思ってググってみたら、やっぱりあった。３．５秒で疑問が解…

数学基礎論（新井敏康）第１章 １階論理入門に沿ってまとめています。 記号 |= の取り扱いについてです。 記号 |-（証明可能である）とは違うものなので注意が必要です。 「モデル」という概念をこれまで直感的にしか理解していなかったので、ちゃんとした定…

数学基礎論（新井敏康）第１章 １階論理入門に沿ってまとめています。 第１章の大きなトピックはコンパクト性定理と完全性定理ですが、はじめに１階述語論理を形式化します。流れは、 １、言語Ｌ：意味を持たない記号の集合、を定義する。 ２、構造Ｍ：言語…