： Mを言語Lのモデル、A⊂M として、 公理系 ＝｛φ ： M |= φ，φはAをパラメタとしたL-閉論理式｝ に関する完全ｎ-タイプ全体の集合。 は、位相の基底を各論理式φに対して とすることで、位相空間（Stone空間）になる。 ここで、 とおいた。 Stone空間は、完…

「可算モデルだけが持つような特徴」を一階論理で公理化することは不可能であることがわかります。 最も単純な例では、公理系Ｔが「モデルＭが有限集合である」ということを表す論理式の集合であるようにしたいとしましょう。しかもモデルＭは有限集合であり…

公理系Ｔが無限モデルを持てば、可算モデルも不可算モデルも持ちますよ！それどころかどんな大きな濃度のモデルも持ちますよ！っていう定理です。ちょっとテンションが上がってきますねー(∩´∀｀)∩ まずは定理の引用から。（新井敏康「数学基礎論」より） 定…

第５章モデル理論に入りました。 部分モデルと初等部分モデルについて。 この辺は具体例と一緒に考えたいと思います。 部分モデル ＭがＮの部分モデルであることをＭ⊂Ｎと書きます。集合の包含関係と同じ記号。 部分モデルの定義はp.179で与えられていますが…

新井先生の本p.110によれば、第２不完全性定理を証明するために使う事実は、 ・不動点定理 ・標準的な証明可能性述語 だけで、第１不完全性定理に比べると、そんなに多くない。 この二つが成り立つ任意の公理系で第２不完全性定理は成り立つので、ＺＦやＺＦ…

不完全性定理を始めて勉強するなら、「数学ガール」第３巻がおすすめです。ミルカさんがやさしく指導してくれて、テトラちゃんが一緒に悩んでくれて、ユーリちゃんが鋭い直観的指摘をしてくれます。 数学ガール/ゲーデルの不完全性定理 (数学ガールシリーズ …

１階論理では完全性とコンパクト性が成立する。ので、以下も成り立つ。 Ｔを文の集合として・Ｔが無矛盾であることと、Ｔのモデルが存在することは同値 ・Ｔ|-φならば、φはＴのある有限部分から証明可能 ・Ｔが矛盾すれば、Ｔのある有限部分で矛盾する こや…

数学的に正確な概念「φはＴから証明できる」が定義できて，それが直観的な概念「φはＴから論理法則のみによって従う」を完全に捉えることができることを示そう．（中略）必要なことのすべては「φがＴから論理法則のみによって従う」とき，少なくとも次のこと…

【コンパクト性定理】 １階論理の公理系Ｔの任意有限部分がモデルを持つならば、Ｔはモデルを持つ。 ここで出てくる「コンパクト性」は、位相空間での「コンパクト性」と何か関係があるのかなーと思ってググってみたら、やっぱりあった。３．５秒で疑問が解…

数学基礎論（新井敏康）第１章 １階論理入門に沿ってまとめています。 記号 |= の取り扱いについてです。 記号 |-（証明可能である）とは違うものなので注意が必要です。 「モデル」という概念をこれまで直感的にしか理解していなかったので、ちゃんとした定…

数学基礎論（新井敏康）第１章 １階論理入門に沿ってまとめています。 第１章の大きなトピックはコンパクト性定理と完全性定理ですが、はじめに１階述語論理を形式化します。流れは、 １、言語Ｌ：意味を持たない記号の集合、を定義する。 ２、構造Ｍ：言語…