「可算モデルだけが持つような特徴」を一階論理で公理化することは不可能であることがわかります。 最も単純な例では、公理系Ｔが「モデルＭが有限集合である」ということを表す論理式の集合であるようにしたいとしましょう。しかもモデルＭは有限集合であり…

公理系Ｔが無限モデルを持てば、可算モデルも不可算モデルも持ちますよ！それどころかどんな大きな濃度のモデルも持ちますよ！っていう定理です。ちょっとテンションが上がってきますねー(∩´∀｀)∩ まずは定理の引用から。（新井敏康「数学基礎論」より） 定…

第５章モデル理論に入りました。 部分モデルと初等部分モデルについて。 この辺は具体例と一緒に考えたいと思います。 部分モデル ＭがＮの部分モデルであることをＭ⊂Ｎと書きます。集合の包含関係と同じ記号。 部分モデルの定義はp.179で与えられていますが…

新井先生の本p.110によれば、第２不完全性定理を証明するために使う事実は、 ・不動点定理 ・標準的な証明可能性述語 だけで、第１不完全性定理に比べると、そんなに多くない。 この二つが成り立つ任意の公理系で第２不完全性定理は成り立つので、ＺＦやＺＦ…

不完全性定理を始めて勉強するなら、「数学ガール」第３巻がおすすめです。ミルカさんがやさしく指導してくれて、テトラちゃんが一緒に悩んでくれて、ユーリちゃんが鋭い直観的指摘をしてくれます。 数学ガール/ゲーデルの不完全性定理 (数学ガールシリーズ …