モデル理論の最初　モデルの拡大 - 数学基礎論の勉強ノート

第５章モデル理論に入りました。

部分モデルと初等部分モデルについて。
この辺は具体例と一緒に考えたいと思います。

部分モデル

ＭがＮの部分モデルであることをＭ⊂Ｎと書きます。集合の包含関係と同じ記号。

部分モデルの定義はp.179で与えられていますが、
言語Ｌ＝｛R，…，f，…，c，…｝の二つモデルＭとＮが、
・集合としてＭ⊂Ｎであり、
・各定数記号の解釈 $c^{M}$ がすべてＭに入っており、
・関数 $f^{M}$ についてＭは閉じている
ことを確認すれば十分です。

同値な言い換え。

集合としてＭ⊂Ｎであれば、
　　 $M\subset N\; \; \Leftrightarrow \; \; N\models Diag(M)$
ただし、ＭのダイアグラムDiag(Ｍ)とは、言語Ｌ(Ｍ)において、Ｍが充たす閉リテラル全体の集合のこと。

このことから、Ｍの拡大モデルで、いくつか公理を付け加えたモノを作りたいときには、まずDiag(Ｍ)を考え、付け加えたい公理達をＴとすると、Ｔ∪Diag(Ｍ)が充足可能であることを示してモデルを作ればよいことがわかかります。

例：
言語Ｌ＝｛０,１,＋,・｝のモデルである整数全体の集合Ｚと有理数全体の集合Ｑは、モデルとして、
　　 $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$
となっています。
あと、群の部分群は部分モデルでもあります。
要するに関数記号について閉じていることをチェックすればいいので、部分モデルを見つけるのは難しくなさそうです。

初等部分モデル

定義

ＭがＮの初等部分モデルである（ＮがＭの初等拡大モデルである）
　　 $M\prec N$
とは、
・ＭがＮの部分モデルである。
・任意のＬ(Ｍ)論理式φについて
　　　 $M\models \varphi \; \Leftrightarrow \; N\models \varphi$
となること。

Ｍの元をパラメタとした論理式の真偽がＭとＮで一致するということですね。

こちらの同値な言い換えは、

集合としてＭ⊂Ｎであれば、
　　 $M\prec N\; \Leftrightarrow \; N\models Diag_{el}(M)$
ただし、
　　 $Diag_{el}(M)$ とは、Ｍの初等ダイアグラム：Ｍで真であるＬ(Ｍ)閉論理式全体の集合のことである。

で、具体例が割と難しいです(+ω+)
さきほどの整数と有理数は部分モデルにはなっても初等的部分モデルにはなりません。なぜなら、論理式
　∃ｘ(ｘ＋ｘ＝１)
は、有理数では真ですが、整数では偽であるので、各モデルで真なる論理式が一致しません。

整数の初等拡大モデルを考えるには、
　　 $Diag_{el}(\mathbb{Z})$
に公理を矛盾しないように付け加えて、そのモデルをつくればいいのですが、
たとえばＺに無限大を付け加えた整数の超準モデルを考えていけばいいと思います。