レーヴェンハイム・スコーレムの定理！！

公理系Ｔが無限モデルを持てば、可算モデルも不可算モデルも持ちますよ！それどころかどんな大きな濃度のモデルも持ちますよ！っていう定理です。ちょっとテンションが上がってきますねー(∩´∀｀)∩

まずは定理の引用から。（新井敏康「数学基礎論」より）

定理５.１.７（上方(Upward)Löwenheim-Skolem 定理）
１．言語Ｌでの公理系Ｔがどんなにも大きい有限モデルをもてばあるいは無限モデルをもてば
　　（つまり $\forall n\exists M\left [ M\models T\& card\left ( \left | M \right | \right ) \geq n \right ]$ ），
　　どんな無限基数 $\kappa \geq card\left ( L \right )$ についても
　　Ｔのモデル $N$ で濃度κのものが存在する．
２．無限モデル $M$ についてその初等拡大 $N\prec M$ で
　　与えられた無限濃度 $card\left ( \left | N \right | \right )=\kappa \geq card\left ( \left | M \right | \right )+card\left ( L \right )$
　　となるものが存在する．
　　　　（p.183）

定理５.１.１３（下方(Downward)Löwenheim-Skolem の定理）
１．Ｌ-無限モデル $M$ と集合 $X\subset \left | M \right |$ について，
　　初等部分モデル $H\left ( X \right )\prec M$ で
　　 $X\subset \left | H\left ( X \right ) \right |$ かつ
　　 $card\left ( \left | H\left ( X \right ) \right | \right )\leq card\left ( L \right )+card\left ( X \right )+\aleph _{0}$
　　となるものが作れる．
　　　　（p.185）

　上方のほうのスコーレム・レーヴェンハイムの定理は、ある公理系が無限モデルをもてば、どんなにも大きい無限モデルをも持つことを主張しています。なので、たとえば自然数の公理系ＰＡのモデルで、不可算濃度のものが作れます。

　さらにすごいのは、この定理から導かれる系５.１.１０。この系によれば、公理系Ｔが無限モデルをもてば、Ｔの濃度κのモデルＭで、Ｍで定義できる無限集合の濃度がすべてＭと同じκになるようなものが作れます。すると、たとえばＺＦＣの(有限部分の)モデルで、モデル内で定義できる無限集合がすべて可算濃度ωになるものが存在します。ＺＦＣといえば、順序数のクラスを定義できるので、基数もどんどん大きくできるように思えます。が、そのモデルの中では、すべての順序数が可算、実数の集合も可算、実数のべき集合も可算です。ｵｲｵｲヾ(ﾟДﾟ )これどうなってんのよ？不可算基数はどこ行ったァァァっ！って感じのモデルです。ＺＦＣのすべての無限集合が不可算になるモデルもあります。ωが不可算とかね。もうね。何が起きているのやら。

　下方のほうのスコーレム・レーヴェンハイムの定理からは、言語が可算であれば、どんな大きな無限モデルにもその初等部分モデルになるような可算モデルを持つことが言えます。（X＝∅とすればよい。）

　こっちのほうは、素朴に考えたらたとえば実数の集合Ｒとかは可算な初等部分モデルを持たなそうですけど、それが作れてしまいます^^;
　可算な実数のモデルというのは実数の集合 $\mathbb{R}$ に対して、
　　 $M\subset \mathbb{R}$ かつ
　　 $M\models \varphi \Leftrightarrow \mathbb{R}\models \varphi$ 　（φはＬ(M)-論理式）
なる可算集合Ｍのことですから、かなり奇妙な感じがしますね。